托勒密定理是关于圆的内接四边形的一个定理，它表述为：在圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。用数学符号表示，如果ABCD是一个圆的内接四边形，则有AC·BD = AB·CD + AD·BC。

为了证明这个定理，我们可以按照以下步骤进行：

在线段BD上取点E，使得∠BAE=∠CAD。

由于∠BAD和∠BCD是内接四边形的对角，所以它们是互补的。因此，∠BAE和∠ABC也是互补的。同理，∠CAD和∠ADC也是互补的。

由于∠BAE=∠CAD，∠ABE和∠ACD是对顶角，所以△AEB和△ADC是相似的。根据相似三角形的性质，我们有AB/AC = BE/CD，从而得到AC·BE = AB·CD。

类似地，由于∠BAC和∠EAD是相等的，∠ABC和∠ADE是对顶角，所以△ABC和△AED是相似的。根据相似三角形的性质，我们有AD/AC = DE/CB，从而得到AC·DE = AD·BC。

将上述两个等式相加，我们得到AC·(BE+DE) = AB·CD + AD·BC。由于BE+DE=BD，所以AC·BD = AB·CD + AD·BC，这正是托勒密定理的表述。

托勒密定理的推广是对于任意凸四边形ABCD，都有AC·BD ≤ AB·CD + AD·BC。这个推广的定理也被称为托勒密不等式。它的证明与托勒密定理的证明类似，只是需要利用到一些凸四边形的性质。

托勒密定理及其推广在几何学和三角学中有着广泛的应用，它们可以用于解决各种与四边形和三角形相关的问题。例如，它们可以用于计算四边形的面积、判断四边形的形状、求解三角形的边长和角度等等。