盗窃680元属于数额较大范畴，根据《治安管理处罚法》相关规定，可处以行政拘留和罚款。

若多次盗窃或情节严重，根据《刑法》规定，可能构成盗窃罪，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或单处罚金。具体量刑由法院判决决定。不过请注意，各地对盗窃罪立案标准有所不同，请参照当地法律法规。