淞沪会战之后，南京并没有立即沦陷。

淞沪会战是中日双方在抗日战争中的第一场大型会战，也是整个中日战争中进行的规模最大、战斗最惨烈的一场战役。淞沪会战之后，日军进攻矛头转向当时中华民国的首都南京。

1937 年 12 月 1 日，日军攻占江阴要塞，同日，日军下达进攻南京的命令，南京保卫战开始。12 月 10 日日军发起总攻，12 月 12 日唐生智下达突围、撤退命令，12 月 13 日南京沦陷，日军开始了惨绝人寰的南京大屠杀。

综上所述，淞沪会战之后，日军对南京发动了进攻，最终于 1937 年 12 月 13 日攻陷南京。