我们要找的是整数a和b，使得a大于根号7倍的b，并且a小于立方根9。

我们的目标是找到a-b的最小整数值。

首先，我们要理解题目中的不等式：

a > √7 × b

a < ∛9

为了找到a和b的可能值，我们可以先确定b的范围，然后基于b的范围来确定a的值。

由于a和b都是整数，我们可以从b的最小整数值开始尝试，然后逐步增加b的值，直到找到满足条件的a和b。

在给定的条件下，我们找到了满足条件的a和b的值：a = 1, b = 0。

因此，a-b的最小整数值为：1。

为了找到这个最小值，我们从b=0开始尝试，然后逐步增加b的值。对于每个b的值，我们都尝试找到一个满足条件的a的值。

当b=0时，我们发现a=1满足所有的条件。因此，a-b的最小整数值就是1-0=1。

注意，由于a和b都是整数，并且a需要大于根号7倍的b，所以b不能是负数。同时，由于a需要小于立方根9，所以a的最大可能值是2（因为2^3=8，小于9）。

综上所述，a-b的最小整数值是1，当a=1且b=0时取得。