公职人员被拘留一个月后是否还有公职取决于具体情况。一般来说，如果公职人员因涉嫌违法犯罪被拘留，可能会导致其被开除公职。根据《中华人民共和国公务员法》第四十九条规定，公务员有下列情形之一的，应当予以开除:(一)违反宪法、法律、法规规定的；(二)违反职业道德准则的；(三)工作失职，玩忽职守，滥用职权，徇私舞弊的；(四)被判处刑事处罚的；(五)患有严重疾病，不能胜任职务的。

但如果被追究刑事责任，则有可能被开除公职。刑事拘留是公安机关、人民对直接受理的辞退案件，在侦查过程，遇到法定的治安紧急情况时。