员工犯了以下错误应该开除：

在试用期间被证明不符合录用条件。

严重违反用人单位的规章制度。

严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害。

劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正。

被依法追究刑事责任。

根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，劳动者有以上情形之一，用人单位可以解除劳动合同。